UVa 1068 Air Conditioning Machinery

题目描述给定一个三维网格空间尺寸为xmax⁡×ymax⁡×zmax⁡x_{\max} \times y_{\max} \times z_{\max}xmax​×ymax​×zmax​均不超过202020。空间内可以放置一种特殊的管道部件 ——肘elbow\texttt{elbow}elbow。每个肘恰好占用444个单位立方体并且恰好有两个开口入口和出口。入口和出口的方向互相垂直。你可以将多个肘首尾相连组成更长的管道连接时前一个肘的出口面必须紧贴后一个肘的入口面且方向一致。现给定流入位置单位立方体坐标及流入方向流出位置及流出方向要求用最少数量的肘不超过666个构造一条完全位于空间内部的管道连接流入与流出。若无法用666个以内肘完成则输出Impossible。输入格式每个测试用例包含一行共111111个输入值依次为三个整数xmax⁡,ymax⁡,zmax⁡x_{\max}, y_{\max}, z_{\max}xmax​,ymax​,zmax​表示空间尺寸三个整数表示流入位置的坐标(xi,yi,zi)(x_i, y_i, z_i)(xi​,yi​,zi​)一个方向字符串x、-x、y、-y、z、-z表示流入方向该方向指向流入立方体的入口面三个整数表示流出位置的坐标(xo,yo,zo)(x_o, y_o, z_o)(xo​,yo​,zo​)一个方向字符串表示流出方向该方向从流出立方体的出口面离开。输入以单独一个0结束。输出格式对于每个测试用例输出Case k:后接最小肘段数若不可能则输出Impossible。样例输入5 4 3 3 1 1 z 5 4 3 x 5 4 3 3 1 1 z 1 2 3 -x 0输出Case 1: 2 Case 2: Impossible题目分析本题的核心是在三维网格中用若干相同的肘部件拼接一条从流入到流出的路径使路径完全位于空间内部且肘的数量最少。一个肘占用444个连续的单位立方体其内部路径从入口立方体开始经过333步到达出口立方体。由于肘的两个开口方向互相垂直因此这333步的方向序列必须满足特定的几何约束。根据题目描述及图例未给出肘的形状可能存在两种基本模式模式A\texttt{A}A前两步沿入口方向直走第三步转向与之垂直的方向模式B\texttt{B}B第一步沿入口方向第二步转向垂直方向第三步继续沿该垂直方向直走。这两种模式都保证入口方向与出口方向垂直。每个肘的出口方向就是最后一步的方向。多个肘连接时前一个肘的出口立方体与后一个肘的入口立方体相邻且前一个肘的出口方向恰好等于后一个肘的入口方向即流体从前者流出直接进入后者。由于最多只能使用666个肘而空间最大尺寸为202020我们可以采用深度优先搜索DFS\texttt{DFS}DFS暴力枚举所有可能的肘放置方式。对于每个肘枚举其内部方向序列并检查路径是否超出空间、是否与其他肘重叠。搜索过程中逐段构建一旦找到合法路径则该段数即为最小段数因为从111开始递增尝试。解题思路状态定义在DFS\texttt{DFS}DFS中我们维护以下状态当前所在单位立方体的坐标(x,y,z)(x, y, z)(x,y,z)正在构建的肘的索引segIdx从000开始以及在该肘内部已走的步数segStep0∼30 \sim 30∼30表示刚进入该肘的入口立方体3表示已走完三步位于出口立方体该肘的入口方向inDir当前选择的模式mode0表示尚未确定1表示模式A\texttt{A}A2表示模式B\texttt{B}B该肘的出口方向outDir仅在模式B\texttt{B}B或步数足够时确定。转移规则每一步枚举下一个移动方向ddd根据当前segStep和mode判断是否合法segStep 0第一步必须等于入口方向inDirsegStep 1若选择d inDir则进入模式A\texttt{A}Amode 1出口方向暂未确定若选择d垂直于inDir则进入模式B\texttt{B}Bmode 2并立即确定出口方向outDir dsegStep 2若为模式A\texttt{A}A则第三步必须垂直于inDir且不等于inDir此时出口方向即为该方向若为模式B\texttt{B}B则第三步必须等于之前确定的outDir。当segStep 3时该肘构建完毕。此时若还有后续肘则需要走一个连接步沿当前出口方向outDir移动一格到达下一个肘的入口立方体并将下一个肘的入口方向设为该方向。若当前已经是最后一个肘则检查当前位置和方向是否与给定的流出位置和方向完全一致。搜索顺序因为肘数上限为666我们依次尝试K1,2,…,6K 1, 2, \dots, 6K1,2,…,6一旦某个KKK搜索成功即输出KKK。若所有KKK均失败则输出Impossible。剪枝与访问标记每个单位立方体最多被一个肘占用因此使用三维布尔数组vis[21][21][21]标记已占用的立方体。搜索时若下一步到达的立方体超出边界或已被占用则剪枝。复杂度分析每个肘内部最多枚举6×6×62166 \times 6 \times 6 2166×6×6216种方向组合实际受垂直约束限制分支远小于此总段数K≤6K \le 6K≤6总步数最多3K(K−1)≤173K (K-1) \le 173K(K−1)≤17步空间体积最多203800020^3 80002038000访问标记开销可忽略实际运行中由于剪枝非常有效可在极短时间内完成搜索。代码实现// Air Conditioning Machinery// UVa ID: 1068// Verdict: Accepted// Submission Date: 2026-07-12// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有C2026邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;// 方向映射0:x, 1:-x, 2:y, 3:-y, 4:z, 5:-zintdx[6]{1,-1,0,0,0,0};intdy[6]{0,0,1,-1,0,0};intdz[6]{0,0,0,0,1,-1};intX,Y,Z;// 空间尺寸intsx,sy,sz,ex,ey,ez;// 入口/出口立方体坐标intsinDir,soutDir;// 入口/出口方向intK;// 当前尝试的肘段数boolvis[21][21][21];// 访问标记最大20// 判断两个方向是否垂直点积为0boolisVertical(inta,intb){returndx[a]*dx[b]dy[a]*dy[b]dz[a]*dz[b]0;}// 方向字符串转编号intdirToId(conststrings){if(sx)return0;if(s-x)return1;if(sy)return2;if(s-y)return3;if(sz)return4;return5;// -z}// 深度优先搜索// 当前所在立方体 (x,y,z)正在构建第 segIdx 个段0起始// 段内已走步数 segStep (0~3)本段入口方向 inDir// mode: 0未定, 1模式A(入口,入口,出口), 2模式B(入口,出口,出口)// outDir: 本段出口方向未定时为 -1booldfs(intx,inty,intz,intsegIdx,intsegStep,intinDir,intmode,intoutDir){// 如果段内三步已经走完if(segStep3){// 如果是最后一段检查是否到达出口且方向匹配if(segIdxK-1)return(xexyeyzezoutDirsoutDir);// 否则需要走连接步方向必须等于本段出口方向intdoutDir;intnxxdx[d],nyydy[d],nzzdz[d];if(nx1||nxX||ny1||nyY||nz1||nzZ)returnfalse;if(vis[nx][ny][nz])returnfalse;vis[nx][ny][nz]true;boolresdfs(nx,ny,nz,segIdx1,0,d,0,-1);vis[nx][ny][nz]false;returnres;}// 枚举下一步方向for(intd0;d6;d){boolokfalse;intnewModemode,newOutoutDir;if(segStep0){// 第一步必须等于入口方向if(dinDir)oktrue;}elseif(segStep1){// 第二步可选入口方向模式A或垂直方向模式Bif(dinDir){oktrue;newMode1;// 模式AnewOut-1;}elseif(isVertical(inDir,d)){oktrue;newMode2;// 模式B出口方向就是 dnewOutd;}}elseif(segStep2){// 第三步if(mode1){// 模式A第三步必须垂直于入口方向且不等于入口方向if(isVertical(inDir,d)d!inDir){oktrue;newOutd;}}elseif(mode2){// 模式B第三步必须等于之前确定的出口方向if(doutDir){oktrue;newOutoutDir;}}}if(!ok)continue;intnxxdx[d],nyydy[d],nzzdz[d];if(nx1||nxX||ny1||nyY||nz1||nzZ)continue;if(vis[nx][ny][nz])continue;vis[nx][ny][nz]true;boolresfalse;if(segStep0)resdfs(nx,ny,nz,segIdx,1,inDir,0,-1);elseif(segStep1)resdfs(nx,ny,nz,segIdx,2,inDir,newMode,newOut);elseresdfs(nx,ny,nz,segIdx,3,inDir,mode,newOut);vis[nx][ny][nz]false;if(res)returntrue;}returnfalse;}intmain(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);intcaseNo1;while(cinXX!0){cinYZ;cinsxsysz;string sinStr;cinsinStr;cinexeyez;string soutStr;cinsoutStr;sinDirdirToId(sinStr);soutDirdirToId(soutStr);intans-1;for(K1;K6;K){memset(vis,false,sizeof(vis));vis[sx][sy][sz]true;if(dfs(sx,sy,sz,0,0,sinDir,0,-1)){ansK;break;}}coutCase caseNo: ;if(ans-1)coutImpossible\n;elsecoutans\n;}return0;}总结本题是一道典型的三维网格路径搜索问题核心在于正确建模每个肘的几何形状和连接方式。由于肘数上限很小666采用深度优先搜索暴力枚举是完全可行的。关键技巧在于将每个肘的内部路径抽象为333步的方向序列并明确两种合法的模式用vis数组避免立方体重复占用保证管道无自交从小段数开始递增尝试一旦找到即退出保证答案最优。本题也展示了在约束明确的情况下暴力搜索配合适当的剪枝可以轻松解决看似复杂的三维管道设计问题。在实际竞赛中务必仔细阅读题目并理解部件的几何细节才能写出正确的状态转移逻辑。